\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题4 - 随机行走}
%\date{2025年10月10日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍随机行走。}

\tableofcontents

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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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%\newpage 

\section{随机过程的基本概念}

\textbf{随机过程}（Stochastic Process）是一组依赖于参数（通常是时间 $t$）的随机变量 $\{X_t\}_{t \in T}$，其中 $T$ 是指标集（如时间点集合）。

当 $T$ 是离散集合（如 $T = \{0,1,2,\dots\}$），称为\textbf{离散时间随机过程}：
$$
X_0, X_1, X_2, X_3, \cdots, X_n, \cdots
$$

当 $T$ 是连续区间（如 $T = [0,\infty)$），称为\textbf{连续时间随机过程}。

随机过程用于描述随时间演化的随机现象，如股票价格、气温变化、粒子运动等。


\section{一维随机行走的定义}

\textbf{一维简单对称随机行走}（Simple Symmetric Random Walk）是最基本的随机过程之一。

\subsubsection*{模型设定}

- 从原点 $S_0 = 0$ 出发。

- 每一步，粒子以概率 $p = \frac{1}{2}$ 向右移动 $+1$，以概率 $q = \frac{1}{2}$ 向左移动 $-1$。

- 各步独立。


令 $X_i$ 表示第 $i$ 步的位移：
\[
X_i = 
\begin{cases}
+1 & \text{概率 } 0.5 \\
-1 & \text{概率 } 0.5
\end{cases}
\]
则 $n$ 步后的位置为：
\[
S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i
\]


\section{基本性质：均值与方差}

\begin{itemize}
    \item \textbf{期望（均值）}：
    \[
    \mathbb{E}[S_n] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \sum_{i=1}^n (1 \cdot 0.5 + (-1) \cdot 0.5) = \sum_{i=1}^n 0 = 0
    \]
    说明长期来看，位置的平均值为 0。

    \item \textbf{方差}：
    \[
    \mathrm{Var}(S_n) = \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) \quad (\text{因独立})
    \]
    \[
    \mathrm{Var}(X_i) = \mathbb{E}[X_i^2] - (\mathbb{E}[X_i])^2 = (1^2 \cdot 0.5 + (-1)^2 \cdot 0.5) - 0^2 = 1
    \]
    所以：
    \[
    \mathrm{Var}(S_n) = n
    \]
    标准差为 $\sqrt{n}$，说明位置的波动随步数增大而扩散。
\end{itemize}


\section{Python 模拟与画图}

假设进行 100 步随机行走，可能的路径如图\ref{fig-1}所示。

程序：\texttt{random\_walk.py}.

图像：
\begin{figure}[ht!]\centering
\includegraphics[scale=0.5]{python/random_walk_example.png}
\caption{随机行走的一条路径}
\label{fig-1}
\end{figure}


\section{扩展：多次模拟与均值/方差验证}

程序：\texttt{random\_walk\_multiple.py}.

100 步随机行走模拟 1000 次的结果：

平均位置: $-0.1220$ (理论: 0)

位置方差: $100.7491$ (理论: 100)


\section{应用与意义}

随机行走是许多复杂模型的基础：
\begin{itemize}
    \item 股票价格建模（几何布朗运动）
    \item 物理中的布朗运动
    \item 算法中的随机游走（如PageRank）
    \item 金融中的有效市场假说
\end{itemize}


\section{习题}

\begin{enumerate}
    \item 推导不对称随机行走（$P(X_i=+1)=p$, $P(X_i=-1)=1-p$）的 $\mathbb{E}[S_n]$ 和 $\mathrm{Var}(S_n)$。
    \item 修改 Python 代码，模拟 $p=0.6$ 的有偏随机行走，并画图。
    \item 计算在 100 步随机行走中，最终位置 $S_{100} = 10$ 的概率（提示：组合数学）。
    \item 模拟 5000 次 50 步随机行走，绘制最终位置的直方图，并与正态分布 $N(0,50)$ 比较。
    \item 证明：$\mathbb{E}[S_n^2] = n$。
    \item 解释为什么随机行走是“无记忆”的（马尔可夫性）。
\end{enumerate}


\section{总结}

随机行走是理解随机过程的起点。它结构简单，但蕴含了均值、方差、路径依赖、扩散等核心概念，是连接概率论与金融数学、物理、计算机科学的重要桥梁。


\end{document}

